Sujet : Sur quoi se fondent les mathématiques ?

Extrait du corrigé : Est-il discutable pour autant ? De la géométrie d'Euclide aux géométries non euclidiennes. La géométrie d'Euclide est bien abstraite, mais les objets (la droite, par exemple) qu'elle considère sont abstraits du réel perçu par nos sens. Les postulats, les axiomes de cette géométrie sont considérés comme évidents. Les Anciens essayèrent, en vain, de déduire le cinquième postulat de la géométrie d'Euclide (par un point extérieur à une droite donnée, on peut mener une seule parallèle à cette droite) des autres postulats. Au début du XIXe siècle, Lobatchevski et Bolyai fondèrent une nouvelle géométrie en partant du postulat que par un point extérieur à une droite donnée on peut mener plusieurs parallèles à cette droite. En 1854, Riemann créa une autre géométrie postulant qu'il n'existe pas de droites parallèles. Si ces géométries sont sans rapport avec notre représentation familière de l'espace, elles n'en sont pas moins légitimes à partir du moment où elles n'impliquent aucune contradiction logique. AXIOMATIQUE : Système dans lequel sont explicitées les propositions non démontrées et les termes non définis à partir desquels on construit par voie de déduction toutes les autres propositions d'une science logique ou mathématique. Le système des axiomes définissant une théorie mathématique doit être complet (nécessaire et suffisant) et consistant (non contradictoire).